函数奇偶性常见的奇函数常见的偶函数奇(偶)函数的推导规律周期性周期函数的原函数周期函数的导函数有界性常见的有界函数判断开区间有界的方法导数有界推原函数有界连续性三角函数诱导公式两角和差公式倍角公式和差化积与积化和差和差化积积化和差变量相同的 sin±cos 只有一个 sin 或只有一个 cos极限等价无穷小趋向速度比较常用基本极限无穷小量阶比较1 的计算方法变上限积分等价代换数列数列极限加绝对值后的关系数列求和公式其它一些奇奇怪怪的公式泰勒公式皮亚诺余项(局部)拉格朗日余项(整体)常用的泰勒公式导数导数定义参数方程加隐函数求导反函数求导高阶导数法线斜率微分中值定理三大中值定理+费马定理费马定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理在微分中的一个延伸柯西中值定理连续函数性质最值定理有界性定理介值定理推论零点定理辅助函数ξf(ξ)±nf(ξ)=0f(ξ)+λf(ξ)=0ex 的一个小特点常用不等式渐进线水平渐近线竖直渐近线斜渐近线其它一些奇奇怪怪的公式曲线弧微分曲率直角坐标方程参数方程曲率圆与曲率半径不定积分分部积分的选择三角函数有理式凑微分规律sinxcosx 线性有理式相除积不出来的函数判断 f(x) 原函数是否存在(xex) 的一个小特性定积分常用公式区间再现公式奇偶性和周期性奇偶性周期性中值定理积分中值定理积分中值定理的一个神奇操作广义积分中值定理几何意义定义求极限可积性必要条件充分条件变上限积分变上限积分求导变上限积分的连续性变上限积分的的可导性物理应用平面图形面积空间体的体积旋转体的体积已知横截面面积的体积点到直线距离曲线弧长旋转体侧面积物理公式质心坐标(形心横坐标)不规则物体质心坐标形心坐标各种经典函数曲线心形线星形线摆线(最速降线)双纽线玫瑰线阿基米德螺线笛卡尔叶形线不等式各个基本不等式柯西积分不等式反常积分无穷区间反常积分敛散性常用结论比较判别法比较判别法的极限形式无界函数反常积分敛散性常用结论比较判别法比较判别法的极限形式0+xα1ex dx 特性微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程可降阶的高阶方程y=f(x,y) (不显含 yy=f(y,y) (不显含 x常系数齐次线性微分方程 y+py+qy=0常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=f(x)f(x)=Pm(x)eλxf(x)=eαx[Pl(1)(x)cosβx+Pn(2)(x)sinβx]多元函数微分学偏导数定义全微分定义(四条等价的定义)可微性判定必要条件充分条件定义判定隐函数偏导数极值判定极值的必要条件极值的充分条件拉格朗日乘数法z=f(x,y)u=f(x,y,z)最大最小值二重积分极坐标计算奇偶性计算变量对称性结论推论 1推论 2推论 3不等式常用结论

函数

奇偶性

常见的奇函数

sinxtanxarcsinxarctanx
ln1x1+xln(x+1+x2)ex1ex+1
f(x)f(x)

常见的偶函数

x2|x|cosx
f(x)+f(x)

奇(偶)函数的推导规律

奇函数 + 常数 奇函数偶函数 + 常数 = 偶函数
奇函数 + 奇函数 = 奇函数偶函数 + 偶函数 = 偶函数
奇函数 × 奇函数 = 偶函数偶函数 × 偶函数 = 偶函数奇函数 × 偶函数 = 奇函数
f(x) 为奇函数 f(x) 为偶函数f(x) 为偶函数 f(x) 为奇函数
连续奇函数的原函数 偶函数连续偶函数的原函数之一 奇函数
f(x) 为奇函数 0xf(t) dt 为偶函数f(x) 为偶函数 0xf(t) dt为奇函数
f(x) 为奇函数 axf(t) dt 为偶函数f(x) 为偶函数 axf(t) dt 为奇函数

周期性

周期函数的原函数

f(x) 连续,且以 T 为周期:

0xf(t) dt 是以 T 周期的周期函数 aa+Tf(x) dx=0

周期函数的导函数

f(x) 是周期函数 f(x) 也是周期函数,且 f(x) 周期与 f(x) 的周期相同

有界性

常见的有界函数

|sinx|1|cosx|1|arcsinx|π2|arctanx|π2|arccosx|π

判断开区间有界的方法

f(x)(a,b) 上有界

注:f(x)(a,b) 上有界,且 f(x)(a,b) 连续 f(a+0)f(b0) 存在。

反例:f(x)=sin1x

导数有界推原函数有界

f(x) 在有限区间有界 f(x) 有界(导函数有界 原函数有界

连续性

f(x) 在点 x0连续 f(x)x0 处的左极限 = f(x)x0 处的右极限 = f(x)x0 处的函数值

f(x) 在点 x0连续 limxx0+f(x)=limxx0f(x)=f(x0) limxx0f(x)=f(x0)

f(x) 在点 x0左连续 limxx0f(x)=f(x0)

f(x) 在点 x0右连续 limxx0+f(x)=f(x0)

三角函数

sin2x+cos2x=1
1±sinx=sin2x2+cos2x2 ± 2sinx2cosx2=| sinx2±cosx2 |
sec2x=tan2x+1csc2x=cot2x+1

诱导公式

  sin(πα)=sinα sin(π+α)=sinα  cos(πα)=cosα cos(π+α)=cosα
sin(π2α)=cosα cos(π2α)=sinα sin(π2+α)=cosα cos(π2+α)=sinα  

两角和差公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(AB)=sinAcosBcosAsinB
cos(A+B)=cosAcosBsinAsinBcos(AB)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=tanA+tanB1tanAtanBtan(AB)=tanAtanB1+tanAtanB

倍角公式

sin2x=2sinxcosx
cos2x=cos2xsin2xcos2x=2cos2x1cos2x=12sin2x  
tan2x=2tanx1tan2x

和差化积与积化和差

和差化积

sinα+sinβ=2sinα+β2cosαβ2sinαsinβ=2cosα+β2sinαβ2
   cosα+cosβ=2cosα+β2cosαβ2   cosαcosβ=2cosα+β2cosαβ2

积化和差

sinαcosβ=sin(α+β)+sin(αβ)2cosαsinβ=sin(α+β)sin(αβ)2
sinαsinβ=cos(αβ)+cos(αβ)2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(αβ)2

变量相同的 sin±cos 只有一个 sin 或只有一个 cos

Asinα+Bcosα=A2+B2sin(α+β)(tanβ=BA)AsinαBcosα=A2+B2sin(αβ)(tanβ=AB)

极限

等价无穷小

xsinxtanxarcsinxarctanxln(1+x)ex1
1cosx12x2(1+x)a1ax
1cosαxα2x2(1+α(x))β(x)1α(x)β(x)( x0 ,  α(x)0 ,  α(x)β(x)0 )
xln(1+x)12x2ax1xlna
xsinx16x3arcsinxx16x3
xtanx13x3arctanxx13x3
ln(x+1+x2)x
ln(x+1+x2)x16x3

趋向速度比较

x+

axxβlnαxα>0, β>0, a>1

n+

nnn!annβlnαnα>0, β>0, a>1

α>0 时:

limx0xαlnβx=0

常用基本极限

limnxn={0 ,|x|<1 ,|x|>11 ,x=1 ,x=1limnenx={0 ,x<0+ ,x>01 ,x=0

无穷小量阶比较

x0 时:

F(x)=oφ(x)f(t) dtxn(m+1) 阶无穷小

1 的计算方法

limα(x)=0,  limβ(x)=, 且 limα(x)β(x)=A ,

lim[1+α(x)]β(x)=eA

变上限积分等价代换

limx0f(x)g(x)=10xf(t) dt  0xg(t) dt

数列

数列极限加绝对值后的关系

limnan=0limn|an|=0
limnan=alimn|an|=|a|

数列求和公式

等差数列:

n(a1+an)2

等比数列:

(a1anq)1q=a1(1qn)1q

其它一些奇奇怪怪的公式

12+22++n2=n(n+1)(2n+1)6
anbn=(ab)(a0bn1+a1bn2++an2b1+an1b0)
limna1n+a2n++amnn=max1im{ai} (ai>0)

泰勒公式

皮亚诺余项(局部)

用于局部形态,例如:极限极值

f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+o[(xx0)n]

拉格朗日余项(整体)

用于整体形态,例如:不等式最值

ξx0x 之间:

f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1

常用的泰勒公式

ex=1+x+x22!++xnn!+o(xn)
sinx=xx33!++(1)n1x2n1(2n1)!+o(x2n1)
cosx=1x22!++(1)nx2n(2n)!+o(x2n)
ln(1+x)=xx22++(1)n1xnn+o(xn)
(1+x)α=1+αx+α(α1)2!x2++α(α1)(αn+1)n!xn+o(xn)

导数

(C)=0(xa)=axa1
(ax)=axlna(ex)=ex
(ln|x|)=1x(logax)=1xlna
(sinx)=cosx(cosx)=sinx
(tanx)=(secx)2(cotx)=(cscx)2
(secx)=secxtanx(cscx)=cscxcotx
(arcsinx)=11x2(arccosx)=11x2
(arctanx)=11+x2(arccot x)=11+x2
[ln(x+x2+a2)]=1x2+a2

导数定义

f(x0)  =  limxx0f(x)f(x0)xx0  =  limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx

参数方程加隐函数求导

参数方程求导,其中有隐函数,直接利用参数方程求导公式:

dydx=y(t)x(t)d2ydx2=y(t)x(t)x(t)y(t)x3(t)

反函数求导

y=f(x) 的反函数为 x=φ(y)

φ(y)=1f(x)

注意:二阶无公式,需要链导法推导:

φ(y)=d[φ(y)]dy=d[1f(x)]dy=d[1f(x)]dx  dxdy=f(x)[f(x)]3

高阶导数

(sinx)(n)=sin(x+nπ2)(cosx)(n)=cos(x+nπ2)
(u±v)(n)=u(n)±v(n)(uv)(n)=k=0nCnku(k)v(nk)

法线斜率

法线斜率为切线斜率的倒数

k=1y

微分中值定理

三大中值定理+费马定理

费马定理

f(x)x0可导,若 f(x)x0 处取得极值,则

f(x0)=0

罗尔定理

f(x)

那么至少存在一点 ξ(a,b) ,使

f(ξ)=0

拉格朗日中值定理

f(x)

那么至少存在一点 ξ(a,b) ,使

f(ξ)=f(b)f(a)ba

拉格朗日中值定理在微分中的一个延伸

f(x0+Δx)f(x0)=f[x0+θΔx] Δx

柯西中值定理

f(x)g(x)

那么至少存在一点 ξ(a,b) ,使

f(b)f(a)g(b)g(a)=f(ξ)g(ξ)

连续函数性质

最值定理

f(x)

f(x)[a,b] 上必有最大值最小值


有界性定理

f(x)

f(x)[a,b] 上必有界


介值定理

f(x)

任意介于 f(a)f(b) 之间的数 C至少存在一点 ξ(a,b) ,使 f(ξ)=C

推论

f(x)

f(x)[a,b] 可取到介于最小值 m最大值 M 之间的任何值 C,并至少存在一点 ξ(a,b) ,使 f(ξ)=C


零点定理

f(x)

至少存在一点 ξ(a,b),使

f(ξ)=0

辅助函数

ξf(ξ)±nf(ξ)=0

ξf(ξ)+nf(ξ)=0

可令:

F(x)=xnf(x)

ξf(ξ)nf(ξ)=0

可令:

F(x)=f(x)xn

f(ξ)+λf(ξ)=0

f(ξ)+λf(ξ)=0αf(ξ)+βf(ξ)=0

可令:

F(x)=eλxf(x)F(x)=eβαxf(x)(α0)

f(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0f(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0

可令:

F(x)=eg(x)f(x)F(x)=eg(x) dxf(x)

ex 的一个小特点

[exf(x)]=ex[f(x)+f(x)]

 

常用不等式

sinx<x<tanx(0<x<π2)
x1+x<ln(1+x)<x(x>0)()
abca+b+c3
ex1+x
|a+b||a|+|b|
|ab|=|a||b|
| |a||b| ||a±b||a|+|b|

渐进线

水平渐近线

limxf(x)=A

竖直渐近线

limxx0f(x)=

斜渐近线

limxf(x)x=alimx(f(x)ax)=by=ax+b

其它一些奇奇怪怪的公式

y=ax+b+α(x)(α(x)0) 直接求斜渐近线,把 arctanxarctan1x 处理为 ax+b 时使用:

arctanx+arctan1x=π2(x>0)

曲线

弧微分

ds=1+y2 dx

曲率

直角坐标方程

K=|y|(1+y2)32

参数方程

K=|yxxy|(x2+y2)32

曲率圆与曲率半径

曲率半径 R

R=1K

不定积分

0 dx=C
ax dx=axlna+Cxa dx=1a+1xa+1+C
1x dx=ln|x|+Cex dx=ex+C
1x dx=2x+C
sinx dx=cosx+Ccosx dx=sinx+C
sec2x dx=tanx+Ccsc2x dx=cotx+C
secxtanx dx=secx+Ccscxcotx dx=cscx+C
11x2 dx=arcsinx+C11+x2 dx=arctanx+C
1a2x2 dx=arcsinxa+C1a2+x2=1aarctanxa+C
1x2a2 dx=12aln|xax+a|+C1a2x2 dx=12aln|xax+a|+C
1x2+a2 dx=ln|x+x2+a2|+C1x2a2 dx=ln|x+x2a2|+C
secx dx=ln|secx+tanx|+Ccscx dx=ln|cscx+cotx|+C
y+y21=e±xy=12(ex+ex)=coshx

分部积分的选择

pn(x) 以外的凑近微分号:

pn(x)eαx dxpn(x)sinαx dxpn(x)cosαx dx

pn(x) 凑近微分号:

pn(x)lnx dxpn(x)arctanx dxpn(x)arcsinx dx

连续两次eαx (指数) 凑近微分号:

eαxsinβx dxeαxcosβx dx

三角函数有理式凑微分规律

  1. R(sinx,   cosx)=R(sinx,cosx)dcosx
  2. R( sinx, cosx)=R(sinx,cosx)dsinx
  3. R(sinx,cosx)=R(sinx,cosx)dtanx

sinxcosx 线性有理式相除

csinx+dcosxasinx+bcosx dx=A(acosxbsinx)+B(asinx+bcosx)asinx+bcosx dx

积不出来的函数

ex2 dxsinxx dxcosxx dx

判断 f(x) 原函数是否存在

(xex) 的一个小特性

(xex)=(x+1)ex(x2ex)=x(x+2)ex

定积分

常用公式

0π2sinnx dx=0π2cosnx dx={n1nn3n2,,12π2(n)   n1nn3n2,,23(n1)
0πxf(sinx) dx=π20πf(sinx) dx
0πsinnx dx=20π2sinnx dx
0πcosnx dx={0 ,n20π2cosnx dx ,n
02πcosnx dx=02πsinnx dx={0 ,n40π2sinnx dx ,n

区间再现公式

t=a+bx ,则 x=a+bt

abf(x) dx=abf(a+bt) dt

奇偶性和周期性

奇偶性

aaf(x) dx={0 ,f(x)20af(x) dx ,f(x)

周期性

aa+Tf(x) dx=0Tf(x) dx
0nTf(x) dx=naa+Tf(x) dx

中值定理

积分中值定理

f(x)[a,b] 上连续:

abf(x) dx=f(ξ)(ba)(a<ξ<b)

1baabf(x) dxy=f(x)[a,b] 上的平均值

积分中值定理的一个神奇操作

牛顿-莱布尼兹公式拉格朗日中值定理联系起来,得到积分中值定理

abf(x) dx=f(b)f(a)=(ba)f(ξ)

广义积分中值定理

f(x)g(x)[a,b] 上连续,且 g(x) 不变号:

abf(x)g(x) dx=f(ξ)abg(x) dx(aξb)

:往往搬出来的 f(x) ,满足 limf(x)=A0

几何意义

011x2 dx=π4
0aa2x2 dx=π4a2
0a2axx2 dx=π4a2

定义求极限

ini 可以是从 1n (取每个区间的右端点)

ini 也可以是从 0n1 (取每个区间的左端点)

01f(x) dx=limn1ni=1nf(in)

可积性

必要条件

abf(x) dx 存在 f(x)[a,b] 有界 (可积 有界

充分条件

  1. f(x)[a,b] 上连续 abf(x) dx 存在 (连续 可积)(强条件,难满足)

  2. f(x)[a,b]只有有限个第一类间断点 abf(x) dx 存在 (只有有限个第一类间断点 可积)(弱条件,易满足)

    • f(x)[a,b] 可积 axf(t) dt[a,b] 上连续 (可积 变上限积分连续

变上限积分

变上限积分求导

(φ1(x)φ2(x)f(t) dt)=f[φ2(x)]φ2(x)f[φ1(x)]φ1(x)

变上限积分的连续性

变上限积分的的可导性

F(x)=axf(t) dt

则在点 x=x0 处:

  1. f(x) 连续 F(x) 可导,且 F(x0)=f(x0)
  2. f(x) 可去 F(x) 可导,且 F(x0)=limxx0f(x0)
  3. f(x) 跳跃 F(x) 连续但不可导,且 F(x0)=f(x0)F+(x0)=f(x0+)

物理应用

平面图形面积

S=ab[f(x)g(x)] dxS=D1 dδ=abdxg(x)f(x)dy
S=12αβρ2(θ) dθS=D1 dδ=αβdθ0ρ(θ)ρ dρ

空间体的体积

旋转体的体积

V=2πDr(x,y) dσr(x,y)=|ax+by+c|a2+b2
Vx=πabf2(x) dxVx=2πDy dσ=2πabdx0f(x)y dy
Vy=2πabxf(x) dxVy=2πDx dσ=2πabdx0f(x)x dy

已知横截面面积的体积

V=abS(x) dx

点到直线距离

d=|Ax0+By0+CA2+B2|

曲线弧长

曲线 C

C:y=y(x),axb

S=ab1+y2 dx

C:{x=x(t)y=y(t),αtβ

S=αβx2+y2 dt

C:ρ=ρ(θ),αθβ

S=αβρ2+ρ2 dθ

旋转体侧面积

S=2πabf(x) ds
S=2πabf(x)1+f2(x) dxS=2παβf(x)x2+y2 dt

物理公式

质心坐标(形心横坐标)

则质心坐标为:

x=abxρ(x) dxabρ(x) dx

不规则物体质心坐标

x=Dxρ(x,y) dσDρ(x,y) dσ

形心坐标

x=Dx dσS

各种经典函数曲线

心形线

心形线

ρ=a(1+cosθ)

心形线

ρ=a(1cosθ)

星形线

星形线

{x=acos3ty=asin3t

摆线(最速降线)

cycloid

{x=a(tsint)y=a(1cost)(0t2π)

双纽线

shuangniuxian

(x2+y2)2=x2y2

玫瑰线

meiguixian

ρ=asin3θ

阿基米德螺线

meiguixian

ρ=aθ

笛卡尔叶形线

meiguixian

x3+y33axy=0

不等式

各个基本不等式

|abf(x) dx|ab| f(x) | dx

若在 [a,b]f(x)g(x)

abf(x) dxabg(x) dx

Mm 分别为 [a,b] 上的最大值和最小值:(估值定理)

m(ba)abf(x) dxM(ba)

柯西积分不等式

f(x)g(x) 连续,则:

(abf(x)g(x) dx)2abf2(x) dxabg2(x) dx

反常积分

无穷区间反常积分敛散性

常用结论

a+1xp dx{p>1 ,p1 ,(a>0)

比较判别法

(大敛小必敛,小散大必散)

  1. a+g(x) dx 收敛 a+f(x) dx 收敛
  2. a+f(x) dx 发散 a+g(x) dx 发散

比较判别法的极限形式

(大敛小必敛,小散大必散)

  1. λ>0 时,a+f(x) dxa+g(x) dx 同敛散
  2. λ=0 时,a+g(x) dx 收敛 a+f(x) dx 收敛
  3. λ=+ 时,a+g(x) dx 发散 a+f(x) dx 发散

无界函数反常积分敛散性

常用结论

ab1(xa)p dx  ,  ab1(bx)p dx{p<1 ,p1 ,

比较判别法

(大敛小必敛,小散大必散)

  1. abg(x) dx 收敛 abf(x) dx 收敛
  2. abf(x) dx 发散 abg(x) dx 发散

比较判别法的极限形式

(大敛小必敛,小散大必散)

  1. λ>0 时,abf(x) dxabg(x) dx 同敛散
  2. λ=0 时,abg(x) dx 收敛 abf(x) dx 收敛
  3. λ=+ 时,abg(x) dx 发散 abf(x) dx 发散

0+xα1ex dx 特性

函数形式:

Γ(α)  =  0+xα1ex dx

特性:

  1. Γ(α+1)=αΓ(α)
  2. Γ(n+1)=n !n 为整数)
  3. Γ(12)=π

微分方程

齐次微分方程

u=yxy=uxdydx=u+xdudx

一阶线性微分方程

y+p(x)y=Q(x)
y=ep(x) dx[Q(x)ep(x) dx dx+C]

可降阶的高阶方程

y=f(x,y) (不显含 y

y=py=p

y=f(y,y) (不显含 x

y=py=pdpdy

常系数齐次线性微分方程 y+py+qy=0

y+py+py=0
r2+pr+q=0
  1. r1r2 为两个不相等的实特征根
y=C1er1x+C2er2x
  1. r1=r2 为二重实特征根
y=(C1+C2x)er1x
  1. r1=α+βi, r2=αβi 为共轭复根
y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=f(x)

f(x)=Pm(x)eλx

y+py+qy=f(x)r2+pr+q=0

f(x)=Pm(x)eλx

y 的方法:

y=xkQm(x)eλx
  1. Qm(x) 设出来,是 Pm(x) 的同次多项式,0次就设 a ,1次就设 ax+b,2次就设 ax2+bx+c
  2. r2+pr+q=0 ,求得r1, r2
  3. f(x) ,把 λ 等于几写出来,λeλx 中的 λ 的值。
  4. 比对 rλ 的相同个数,相同的数量即为 k ,把 k 写出来,把 xk 写出来。
  5. eλx 照抄。

f(x)=eαx[Pl(1)(x)cosβx+Pn(2)(x)sinβx]

f(x)=eαx[Pl(1)(x)cosβx+Pn(2)(x)sinβx]

y 的方法:

y=xkeαx[Rm(1)(x)cosβx+Rm(2)(x)sinβx]m=max{l,n}
  1. Rm(1)(x)Rm(2)(x) 设出来,Rm(x)Pl(1)(x)Pn(2)(x) 的中的最高次项多项式,0次就设 ab ,1次就设 ax+bcx+d ,2次就设 ax2+bx+cdx2+ex+f
  2. cosβxsinβx 照抄。
  3. r2+pr+q=0 ,求得r1, r2
  4. f(x) ,把 α+βi 写出来,αeαx 中的 α 的值,βcos 或者 sin 中的 β
  5. 比对 rα+βi 的相同个数,相同的数量即为 k ,把 k 写出来,把 xk 写出来。
  6. eαx 照抄。

多元函数微分学

偏导数定义

fx(x0, y0) = limΔx0f(x0+Δx, y0)f(x0, y0)Δx = limxx0f(x, y0)f(x0, y0)xx0 = d[f(x, y0)]dx | x=x0
fy(x0, y0) = limΔy0f(x0, y0+Δy)f(x0, y0)Δy = limyy0f(x0, y)f(x0, y0)yy0 = d[f(x0, y)]dy | y=y0

全微分定义(四条等价的定义)

Δz=f(x0+Δx, y0+Δy)f(x0, y0)=AΔx+BΔy+o(ρ)
limΔx0Δy0[f(x0+Δx, y0+Δy)f(x0, y0)][AΔx+BΔy](Δx)2+(Δy)2=0
Δz=f(x, y)f(x0, y0)=A(xx0)+B(yy0)+o(ρ)
limxx0yy0[f(x, y)f(x0, y0)][A(xx0)+B(yy0)](xx0)2+(yy0)2=0

可微性判定

必要条件

可微 fx(x0, y0)fy(x0, y0) 都存在(可微 一阶偏导数存在

充分条件

fx(x, y)fy(x, y)(x0, y0) 连续 可微(一阶偏导数都存在并且连续 可微

定义判定

两个条件都满足才可微:

  1. fx(x0, y0)fy(x0, y0) 都存在。(一阶偏导数至少一个不存在 不可微
limΔx0Δy0[f(x0+Δx, y0+Δy)f(x0, y0)][fx(x0, y0)Δx+fy(x0, y0)Δy](Δx)2+(Δy)2=0

隐函数偏导数

yx=FxFy
zx=FxFzzy=FyFz

极值判定

极值的必要条件

fx(x0,y0)=0fy(x0,y0)=0

极值的充分条件

以下是决定函数内部是否有最大值和最小值:

A=fxx(x0,y0)B=fxy(x0,y0)C=fyy(x0,y0)
  1. ACB2>0 ,则 (x0,y0)f(x,y) 的极值点

    • A<0 ,则 (x0,y0)f(x,y)极大值
    • A>0 ,则 (x0,y0)f(x,y)极小值
  2. ACB2<0 ,则 (x0,y0) 不为 f(x,y) 的极值点

  3. ACB2=0 ,则不确定,一般用定义判定

拉格朗日乘数法

z=f(x,y)

z=f(x,y)

约束条件 φ(x,y)

F(x,y,φ)=f(x,y)+λφ(x,y)
{fx(x,y)+λφx(x,y)=0fy(x,y)+λφy(x,y)=0φ(x,y)=0

(x,y) 为可能的极值点

u=f(x,y,z)

u=f(x,y,z)

约束条件 φ(x,y,z)ψ(x,y,z)

F(x,y,z,φ,ψ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)+μψ(x,y,z)
{fx(x,y,z)+λφx(x,y,z)+μψx(x,y,z)=0fy(x,y,z)+λφy(x,y,z)+μψy(x,y,z)=0fz(x,y,z)+λφz(x,y,z)+μψz(x,y,z)=0φ(x,y,z)=0ψ(x,y,z)=0

(x,y,z) 为可能的极值点

最大最小值

  1. f(x)D 内部可能的极值点,即 f(x)=0
  2. f(x)D 边界上的最大最小值,用拉格朗日乘数法
  3. 比较所有驻点大小

二重积分

极坐标计算

Df(x,y) dσ=αβdθφ1(θ)φ2(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρ dρ

适合极坐标的被积函数:(以被积函数为主

f(x2+y2)f(yx)f(xy)

适合极坐标的积分域:

x2+y2R2r2x2+y2R2x2+y22axx2+y22by

奇偶性计算

积分域 D 关于 y 轴对称(即关于 x=0 对称):

Df(x,y) dσ={2Dx0f(x,y) dσ,f(x,y)x0,f(x,y)x

积分域 D 关于 x 轴对称(即关于 y=0 对称):

Df(x,y) dσ={2Dy0f(x,y) dσ,f(x,y)y0,f(x,y)y

变量对称性

结论

对于一个二重积分,

值不变

推论 1

积分域 D 关于 y=x 对称:

则值不变,即:

Df(x,y) dσ=Df(y,x) dσ

推论 2

被积函数 f(x,y) 关于 y=x 对称:

则值不变,即:

D1f(x,y) dσ=D2f(x,y) dσ

推论 3

积分域 D 关于 y=x 对称,同时被积函数 f(x,y) 也关于 y=x 对称:

则大区域 D 上积分值的一半等于任意一个小区域 D1D2 积分的值,即:

12Df(x,y) dσ=D1f(x,y) dσ=D2f(x,y) dσ

不等式

|Df(x,y) dσ|D| f(x,y) | dσ

若在 Df(x,y)g(x,y)

Df(x,y) dσDg(x,y) dσ

若在 Dmf(x,y)M ( σ 为区域 D 面积 ):

mσDf(x,y) dσMσ

常用结论

一个概率论中的常用结论:

+et2 dt=π

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